Metoda zmiennych opóźnionych bazuje na wektorze przestrzeni osadzenia:

$$ \textbf{X}(t)=[x(t),x(t−\tau),x(t−2\tau),\ldots,x(t−(m−1)\tau)] $$

Wektor $\textbf{X}(t)$ może mieć dowolny wymiar osadzenia, określony przez $m$.

Czas opóźnienia jest określony przez $\tau$.

Typowym zastosowaniem metody jest analiza równomierności rozkładu prawdopodobieństwa wystąpienia wartości z generatora liczb losowych. W najprostszej wersji wektor jest dwuwymiarowy, co pozwala na narysowanie wykresu w postaci płaskiej mapy, łatwej do umieszczenia w dokumencie i przeanalizowania. Czas opóźnienia $\tau$ to jedna próbka a więc do określenia współrzędnych wybieramy najnowszą wartość z przetwornika ADC i poprzednią. Jeśli każda para współrzędnych ma takie samo prawdopodobieństwo wystąpienia, to przestrzeń wykresu zostanie równomiernie pokryta. Wtedy bardzo możliwe, że generator dostarcza liczby faktycznie losowe. W przypadku słabego generatora, na przykład pseudolosowego, na takim wykresie możemy dostrzec regularności.

Analizując ciąg danych z użyciem różnych $\tau$ z pewnego zakresu, można wykryć atraktory.

ELI5

Przypomnij sobie grę w statki. Podajesz dwie współrzędne i zaznaczasz miejsce. Na przykład (3,8). W metodzie zmiennych opóźnionych w kolejnym ruchu bierzesz jedną współrzędną z poprzedniego i dokładasz jedną nową. Dokładamy na przykład 2 więc nowe współrzędne to (8,2). W następnym ruchu dokładamy na przykład 7, więc strzelamy w (2,7). I tak dalej. Każde trafione pole zaznaczamy dodając +1 na mapie.

Odnośniki

1. Wykrywanie cyklu, Wikipedia
2. Atraktor, Wikipedia
3. Teoremat Takensa, Wikipedia
4. Taken’s Embedding Theorem for Non-Mathematicians, Thomas Lagrange
5. Delays are all you need, Pietro Verzelli
6. Detecting strange attractors in turbulence, Floris Takens
7. Embedology, Tim Sauer, James A. Yorke & Martin Casdagli